Pitágoras

Se considera a Pitágoras el fundador de una corriente místico-filosófica, el pitagorismo, que alcanzó su esplendor entre los siglos VI y III a.C.
Él descubrió la importancia de los números en la música, y estableció la relación entre la música y la aritmética en los términos matemáticos media armónica y progresión armónica
• Pitágoras descubre que las cuerdas que daban el tono, la cuarta, la quinta y la octava, tenían longitudes proporcionales a 12, 9, 8 y 6. Y puesto que las razones entre los números 12, 9, 8 y 6 son iguales a las que hay entre 1, 3/4, 2/3 y 1/2, que son las más sencillas que se pueden formar con los números de la sagrada Tetractys, 1, 2, 3 y 4, Pitágoras dedujo que ésta es «la fuente y raíz de la Naturaleza eterna» como dicen los Versos Dorados.
• Como en tantos aspectos pitagóricos los números de la Tetractys eran la piedra angular de la armonía musical.
• Mediante una mística extrapolación, la Tetractys sería la fuente del conocimiento de las raíces de la armonía del Cosmos divino, alcanzable a través del número.Si en el número está la clave del tono musical, en él residirá también la clave de toda la naturaleza y en ultima instancia aparecía la matriz de la filosofía pitagórica: «el número es la esencia de todas las cosas»

Las siete artes se dividen en “saberes exactos” (Quatrivium o Matemáticas) y “saberes humanos” (Trivium).

Propiedades que comparten Música y Matemáticas

· La primera propiedad, excepcional, que tienen en común la Matemática y la Música es que ambas son lenguajes universales
• La segunda propiedad, es que la teoría física de las ondas juega un papel fundamental en nuestra percepción de la música. Y esta teoría puede ser analizable matemáticamente.
• La tercera propiedad nos la recuerda Bertrand Russell, el matemático puro, como el músico, es creador libre de su mundo de belleza ordenada

Escalas y armonía

Una de las aportaciones más importantes de Pitágoras fue su descubrimiento de que las longitudes de las cuerdas que emiten sonidos armónicos guardan entre sí relaciones numéricas simples: por ejemplo, dada la nota do, para conseguir otro do pero más bajo usaremos una cuerda el doble de larga, es decir, en relación 2:1, y para las notas intermedias en orden ascendente (re, mi, fa...) usaremos cuerdas cuyas longitudes mantengan, respecto de la original, las relaciones 16:9, 8:5, 3:2, 4:3, 6:5, 16:15.

• Pitágoras estaba influenciado por sus conocimientos sobre las medias (aritmética, geométrica y armónica) y el misticismo de los números naturales, especialmente los cuatro primeros (tetrakis).
• Había experimentado que cuerdas con longitudes de razones 1:2 (longitudes 1:2 y 1), 2:3 (media armónica de 1:2 y 1), y 3:4 (media aritmética de 1:2 y 1) producían combinaciones de sonidos agradables y construyó una escala a partir de estas proporciones.
• A estos intervalos los llamó diapasón, diapente y diatesaron. Hoy los llamamos octava, quinta y cuarta porque corresponden a esas notas de la escala pitagórica diatónica (do, re, mi, fa, sol, la, si, do).
Las longitudes de cuerda correspondientes quedan así La proporción entre cada cuerda y la siguiente es de 8:9 (tono), salvo en los casos de fa/mi y do/si, en donde es de 256:243 (hemitono). La pauta entre tonos y hemitonos es 2-h-3-h.
El problema reside en que aplicar dos hemitonos no equivale a aplicar un tono.Además, la distribución de tonos y hemitonos es irregular.

Fórmula de la Escala Diatónica Mayor

T=tono st=semitono
T-T-st-T-T-T-st
Ejemplo para "Do mayor" aplicando la fórmula anterior:
Do (T) Re (T) Mi (st) Fa (T) Sol (T) La (T) Si (st) Do

• La escala usual se obtiene tomando las dos primeras como las mejores combinaciones (octava y quinta) y repitiéndolas sistemáticamente hasta que vuelvan a coincidir. Resulta entonces que 12 quintas equivalen (casi) a 7 octavas.
(3/2)12 / (2:1)7 = 1'0136...
A la diferencia entre estos dos ciclos se le llamó coma pitagórica.

La escala cromática
En 1627 el matemático francés Mersenne (el de los primos 2p-1) formula con precisión la relación entre longitud de cuerda y la frecuencia en su obra Armonía Universal. Esto permitiría la creación de una escala en donde todos los intervalos son iguales (12 semitonos): la escala cromática. Se resolvía así el problema de cambiar de tonalidad (modular) sin reajustar la afinación. La coma pitagórica había desaparecido

• Mientras Bach, Handel, Haydn, Mozart, Beethoven, etc., elevaban la música a alturas de vértigo, dos famosos matemáticos, Euler y d'Alembert, producían teorías de música, continuando la tradición empezada por Descartes (Compendio musical), Galileo (Discurso), Mersenne (Armonía Universal) y Leibniz (en diversas digresiones). Pero la nueva escala cromática necesitaba nuevas teorías de armonía, en las que trabajaron Euler (Nueva teoría musical, en la que trata de ordenar la consonancia, demasiado matemático para los músicos y demasiado musical para los matemáticos) y d'Alembert.
• Música y matemáticas ya se estudiaban por separado

Producción del sonido

Los sonidos musicales son producidos por algunos procesos físicos que tienen un carácter periódico - una cuerda vibrando, el aire en el interior de un instrumento de viento, etc. Aun siendo muy diferentes entre ellos, estos procesos pueden ser descritos con un mismo modelo matemático. La característica más fundamental de esos sonidos es su "altura" o frecuencia. Imaginémonos una cuerda que al ser tocada vibra, dando oscilaciones en las proximidades de su posición de reposo o equilibrio. Cuanto más oscilaciones da en un período de tiempo, más alta será la frecuencia del sonido producido, y más aguda o "alta" será la nota musical resultante. La magnitud de la frecuencia se mide en Hertz (Hz), que es simplemente el número de oscilaciones o ciclos por segundo. En la música, las frecuencias absolutas no son tan importantes, como sí lo son las relaciones de frecuencia entre diferentes sonidos, las cuales denominaremos intervalos o distancias. Una melodía puede ser tocada con instrumentos de sonido grave o agudo, o en diferentes "octavas", sin dejar de ser la misma melodía, siempre y cuando las distancias entre las notas sean preservadas.

Rossini

Las oberturas de Rossini son un ejemplo de traslación melódica. Las frases se repiten, cada vez con más intensidad (crescendo), provocando la expectativa de continuación. El climax se alcanza rompiendo la traslación.

Mozart

En su obra Musikalisches Würfelspiel (Juego de dados musical) K516f, de 1787, Mozart compone 176 compases para los minuetos y 96 compases para los tríos. Cada pieza consta de 16 compases. Estos compases están sueltos, pero Mozart ofrece unas reglas basadas en el lanzamiento de dados que permite combinarlos de múltiples formas.
Minuetos: 1116 (casi 46 mil billones) formas no equiprobables correspondientes a dos dados.
Tríos: 616 (casi 3 billones) equiprobables correspondientes al lanzamiento de un solo dado.
Obra conjunta (minueto + trío): 6616 (más de 1029 ). Es decir, más que granos de arena hay en la Tierra.

En varias sonatas para piano de Mozart, la proporción entre el desarrollo del tema y su introducción es la más cercana posible a la razón áurea. ¿Intuición?
Tampoco se sabe si fue consciente de ello, pero en su Quinta Sinfonía Beethoven distribuye el famoso tema siguiendo la sección áurea.
• Estrechamente emparentada con la razón áurea (a la que tiende la razón de dos términos consecutivos) se encuentra la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... (cada término es la suma de los dos anteriores).
• De modo intuitivo o consciente, esta serie numérica ha sido utilizada por las distancias proporcionales que guardan sus términos.
Pero existe entre ellos otra relación curiosa, el cociente entre cada término y el anterior se va acercando cada vez más a un número muy especial, ya conocido por los griegos y aplicado en sus esculturas y sus templos: el número áureo. Φ=1.618039....

Chopin

El compositor polaco Chopin (se pronuncia “xopén”) describió la fuga como “lógica pura”. Era un gran admirador de la obra de Bach. Siguiendo sus pasos, aplicó el principio del contraste, alternando los modos mayor y menor, en su obra 24 preludios (op. 28).
Aunque teóricamente daría igual qué tonalidad se eligiese (los 12 semitonos son iguales), puede que el pianista, inconscientemente, no toque todos con el mismo ánimo pues la distribución de teclas negras y blancas varía en cada caso.
Las tonalidades de estos preludios de Chopin siguen el orden: Do mayor, La menor, Sol mayor, Mi menor, Re mayor, etc. ¿Qué orden es este?
Podemos disponer estas 24 tonalidades en un reloj. La parte externa indica el modo mayor y la interna el modo menor. Así expuesto, se ve claramente que Chopin sigue “el ciclo de quintas”. Es decir, cada nueva tonalidad está 7 semitonos más arriba que la tonalidad anterior del mismo modo. Matemáticamente, esto equivale a sumar 7 (módulo 12) en sentido horario

Leonardo Da Vinci

Leonardo da Vinci, el hombre renacentista, inventor, pintor, músico, etc., estimaba mucho las matemáticas. Da Vinci halla en ellas el rigor necesario para convertir una observación en una ley universal.
Da Vinci (se pronuncia "vinchi") es posiblemente el inventor de un método de distorsión de la imagen basado en una particular perspectiva. Esta distorsión se conoce como anamorfismo.
El anamorfismo se puso rápidamente de moda. Permite a un pintor ocultar una figura en el cuadro, de forma que sólo sea reconocible su forma mirando la imagen desde un ángulo particular o con ayuda de espejos curvos o lentes.
Da Vinci

Sin embargo, la imagen oculta en la parte inferior del cuadro representa... ... la vanidad humana: todo ese poder es temporal. Al final, se encuentra la muerte (representada por la calavera).

El sonido

El sonido es para el ser humano, la forma en la que el oído humano percibe cierto tipo de vibraciones transmitidas por el aire (diferencias de presión atmosférica). El oído humano es capaz de percibir sonidos de una frecuencia de entre 16 y 20.000 Hercios.
Las notas musicales se caracterizan por la frecuencia del armónico predominante al ser ésta tocada por un instrumento. Por ejemplo, la nota LA corresponde a una frecuencia de 440 Hz, es decir 440 oscilaciones por segundo.